2018年江苏淮安中考压轴倒一 (面积及最值相关,一次函数、正方形与相似或三角函数)
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(2018·淮安市)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y=−2/3x+4 的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点.动点P从点A出发,在线段 AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动,到达点 O停止运动。点 A关于点P的对称点为点 Q,以线段PQ为边向上作正方形 PQMN。设运动时间为 x秒.
(1) 当t=1/3秒时,点Q的坐标是__________.
(2 ) 在运动过程中,设正方形 PQMN与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式;
(3)若正方形PQMN对角线的交点为T,请直接写出运动过程中OT+PT 的最小值.
【图文解析】
【题干解读】
由“一次函数 y=−2/3x+4 的图像与x轴和y轴分别相交于A、B两点”可得:A(6,0),B(0,4),得OA=6,OB=4.由“动点P……“引发的相关图形与结论如下图示:
【逐题解析】
(1)结合题干解读可得:当t=1/3时,AQ=6×1/3=2,所以OQ=OA-AQ=4,所以Q(4,0).
(2)首先判断点P在运动过程中,正方形PQMN与△AOB重合部分的各种情形,如下图示:
再判断出各种图形的“过渡“状态,如下图示:
此时3t=4,得4/3.
下面用动画观察验证:
下面逐个分析各种情况
情 形一:
得到S△HEN=0.5×t×3t/2=3t2/4,从而S=S阴=(3t)2-3t2/4=33t2/4,此时0<t≤1.
情形二:
S=S阴=S矩形-S△HEN
=3t(6-3t)-3t2/4=-39t2/4+18t,
(此时1<t≤4/3).
情形三:
S=0.5(2t+4)×(6-3t)=-3t2+4,此时4/3<t≤2.
综上所述,所求的函数解析式为:
(3)试题再现:若正方形PQMN对角线的交点为T,请直接写出运动过程中OT+PT的最小值.
如下图示:
本题中含有正方形,而正方形处处存在着对称和相等的量,同时在几何中的最值问题常通过对称或相等的量进行转化解决,图中显然有PT=NT,所以OT+PT=OT+NT≥ON,如下图示:
所以,当点O,T,N三点在一直线上时,OT+PT最短.
另一方面,由于PA=PN,若连接AN,则有∠PAN=450(定值),而点P在OA上,A为定点,所以N点的运动路径为:过A点且与x轴构成450的角的直线(即直线y=-x+6)上运动,如下图示:
综上,不难得到所求OT+PT的最小值的点应为:
此时,Q与O重合,不难求得:OT+PT=OT+TN=OAcos450=3√2.
【拓展延伸】
若连接BN和BT,继续探索:
(1)求BN的最小值;
(2)当△BNT为直角三角形时,求t的值.
答案:(1)√2;(2)4/3和2/3.
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